Relation avec les maths

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Les architectes arabes ont puisés dans les sources mathématiques grecques pour édifier leurs constructions.Toute forme utilisée dans le traçage des édifices et la construction des coupoles et des voûtes et de toutes les figures des arabesques se base toujours sur la construction à la règle et au compas.
En effet, les voûtes se basent dans les monuments et les mausolées sur des contre-forts régulièrement espacés, condition nécessaire de la solidité de l'édifice, ce qui exigeait de la part de l'architecte des connaissances solides en matière de construction géométrique. D'ailleurs, plusieurs problèmes intéressants et résolus ont été recensés dans les monuments se référant à la construction des pentagones ou hexagones réguliers inscrits dans un carré. Les architectes arabes prouvaient aussi de grandes connaissances en calcul et en algèbre; d'ailleurs leurs calculs concernant la répartition des forces et des charges étaient souvent quasi-parfaits.Les nombreuses études occidentales sur les tracés islamiques témoignent d'une exploration scrupuleuse et sans doute passionnante des motifs, allant de la simple compilation aux extrapolations les plus savantes. Nous avons remarqué que les motifs se développent et s'enchaînent à partir d'un élément unique, originel, réduit à sa forme la plus compressible, et qui contient tous les caractères spécifiques ainsi que toutes les inventions de l'enssemble du dessin. Reporté par symétrie de part et d'autre de ses côtés, et par rotation, la "plus petite figure non divisible" organise le déploiement de l'entrelacs et le multiplie sans limite, vers un infini devenu tangible, le faisant passer du visible à l'invisible dans la recherche et dans l'attente de celui qui est absent.

En effet, l'architecte qui construit un grand édifice inclut souvent des propriétés mathématiques d'actualité pour mettre en valeur ses connaissances scientifiques; par exemple, l'architecte qui a construit la Grande mosquée a ajusté la largeur et la longueur de son édifice au cm près pour que le rapport des cotés donne le nombre d'or :

Le carré védique, issu de la tradition brahamique est intégré très tôt par l'Islam et associé à ses combinaisons ornementales. La première ligne horizontale et la première ligne verticale contiennent chacune les nombres de 1 à 9. On remplit les autres cases aves le produit des deux nombres correspondants, horizontalement et verticalement, comme avec une grille de mots croisés. Exemple : 7 x 9 = 63 ( 6 + 3 = 9). Ce carré est rempli de surprises mathématiques, à commencer par le chiffre 7 au "pouvoir magique", en son centre.

Les combinaisons du carré védiques se transmettaient dans les confréries d'initiés, comme celle des Frères de la pureté... En réunissant les centres des carrés d'un même chiffre, on obtient des figures géométriques qui différent selon que l'on réunissent les 1, les 2, ect. Ces figures, utilisées par superpositions et rotations forment des constrcutions au combinaisons multiples abondamment exploitées par les dessinateurs.

La lecture de la grille védique, en suivant chaque portée horizontale, permet la construction de figures à partir du cercle divisé en neuf parties égales (comme le carré lui même) :

Il est probable que des procédés identiques furent encore employés par les artisans nasrides qui décorérent l'Alhambra, tant leurs compositions témoignent d'une inspiration originelle.

Il faut rappeler que le carré est toujours un principe de base dans les inventions des maalems. Sa persistance dans le décor rappelle ses origines symboliques et magiques:

De même il existe "le pavage de Penrose", il nécessite l'utilisation du *triangle d'or

Chacun de ces types possède un angle $\alpha\,$ de 36 ° (soit $\frac{\pi}{5}\,$ radians).oit égaux à $\alpha\,$ , soit multiples de $\alpha\,$ (d'un facteur 2 ou 3). L'angle $\alpha\,$ est lié au nombre d'or φ par de nombreuses propriétés ; en effet :

$cos \alpha = sin \frac{3 \alpha }{2} = \frac{\varphi}{2}\,$ et $sin \frac{\alpha}{2} = cos 2\alpha = \frac{1}{2\varphi}\,$
Les côtés d'un triangle d'or aigu ont des longueurs proportionnelles à [1;φ;φ]
Les côtés d'un triangle d'or obtus ont des longueurs proportionnelles à [1;1;φ]

La propriété peut être précisée de la façon suivante :

Tout triangle d'or aigu (A) de dimensions [1; φ; φ] peut se décomposer (de 4 façons différentes, 2 à 2 symétriques) en 3 triangles : un triangle d'or obtus [1/φ; 1/φ; 1] et deux triangles d'or aigus [1/φ; 1 ;1], ces nouveaux triangles ayant donc, par rapport au triangle d'or générateur, une taille divisée par φ ;
Tout triangle d'or obtus (O) de dimensions [1; 1; φ] peut se décomposer (de 2 façons différentes et symétriques) en deux triangles : un triangle d'or aigu [1/φ; 1; 1] et un triangle d'or obtus [1/φ; 1/φ; 1].

Ainsi précisée, la propriété peut être utilisée pour construire un pavage de Penrose de type 0. Voici comment :

En découpant un premier triangle d'or (aigu ou obtus, peu importe) et en opérant un agrandissement d'un facteur φ, puis en recommençant l'opération précédente une infinité de fois, on constitue un pavage complet du plan à l'aide des deux types de triangles d'or. Si, à l'étape n° n, on appelle $a_{n}\,$ le nombre de triangles aigus et $o_{n}\,$ le nombre de triangle obtus, on observe les formules de récurrence :

o n + 1 = o n + a n

a n + 1 = o n + 2 a n = o n + 1 + a n

En considérant la suite $u n$ définie par :

u 2 n = a n

u 2 n + 1 = o n

on s'aperçoit que cette suite vérifie la relation de récurrence de la suite de Fibonacci ;

u n + 2 = u n + 1 + u n

suite dont on sait que le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d'or φ. Ainsi la valeur limite du rapport du nombre de triangles obtus et du nombre de triangles aigus est un nombre irrationnel, ce qui entraîne que le pavage obtenu de cette façon ne peut pas être périodique.

montrant comment on peut, avec des triangles d'or, réaliser un pavage de Penrose de type 0 (6 étapes) Penrose_pavage1_6_steps.gif

Dans l'ornement de la porte de la grande mosquée ou de son minbar le décorateur a inclus toutes les transformations possibles en son temps à savoir la symétrie, la translation et la rotation.